opebet体育竞技之后人们利用计算机一口气算到了n=46以后

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文章关键词:opebet电竞官网,整除部分

  上的因式分解成不可约多项式的乘积后各项系数都为1或者-1,不难验证对n在1-20之间都是正确的。

  Pólya 猜想看上去非常合理——每个有偶数个质因子的数,必然都已经提前经历过了“有奇数个质因子”这一步。不过,这个猜想却一直未能得到一个严格的数学证明。

  到了 1958 年,英国数学家 C. B. Haselgrove 发现, Pólya 猜想竟然是错误的。他证明了 Pólya 猜想存在反例,从而推翻了这个猜想。

  尝试寻找到一个简单而高效的素数生成公式一直是人们的理想之一,而素数之类的公式如果要能用简单的数列定义该多好啊。

  n 能整除 Perrin 数列的第 n 项 a(n) ,必须 n 是一个素数。

  1899 年 Perrin 本人曾经做过试验,随后 Malo 在 1900 年, Escot 在 1901 年,以及 Jarden 在 1966 年都做过搜索,均未发现任何反例。

  直到 1982 年, Adams 和 Shanks 才发现第一个反例 n = 271 441 ,它等于 521 × 521 ,却也能整除 f(271 441) 。

  8, 55, 379, 2612, 18002, 124071, 855106, 5893451, 40618081, 279942687, 1929384798, , , 6, 05, 641, , 6, 6,……

  8, 55, 379, 2612, 18002, 124071, 855106, 5893451, 40618081, 279942687, 1929384798, , , 6, 05, 641, , 6, 6,……

  8, 55, 379, 2612, 18002, 124071, 855106, 5893451, 40618081时,

  只要注意到a(n)定义中的最小性即可,另外b(n)的递推公式可由特征方程给出

  当整数n 2时,关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。

  1995年已被怀尔斯证明成立,在这之前有无数关于费马大定理的推广猜想:

  看起来命题可能成立,好像我们只需要找到更有力的数学工具像费马大定理一样去证明它就可以了。

  1966年由Lander 与 Parkin通过计算机(型号为CDC 6600,如下图)给出:

  (不得不说他们运气也很不错,能够发现一组较小的反例解,如果反例太大当时的计算机肯定无法完成循环搜索)

  数学上,寻找反例并不是仅仅的碰运气,很多时候需要结合很多技巧,考虑如果反例出现,研究其需要满足的必要条件,再去寻找到反例。

  我们始终明白这么一个事实,人的计算能力是有限的,所以Euler虽然能够心算到千位数加减乘除,但是这个反例还是太大了,超过了手工计算的极限。

  要测试x,y,z,w上界到达100万的情况,就至少需要10亿亿秒,也就是

  988-51-184/S-0930224-9/S-0930224-9.pdf

  用到了代数曲线上的有理点,模函数等知识,做了一些分类讨论,化归成了简单一些的情况

  所以这个反例说明了即使寻找反例也要借助较好的数学知识来分析,而不是瞎猜一通。

  还有一些类似的美妙的恒等式可以用来给出某些类似的方程的解(来自wiki):

  9.The Strong Law of Small Numbers 论文中提到的一些例子节选

  之后人们利用计算机一口气算到了n=46以后,发现n大于4小于47时,Fn都是合数

  注:本来并不想写出这个梅森素数,因为这个反例并不巨大,但是其很著名,同时也反映了一些问题。

  寻找梅森素数一直是一个有趣的课题,是否存在无穷多个梅森素数仍然是数论中未解决的著名难题之一。

  可见猜想虽然很多时候从直觉出发,但是因为从有限枚举的情况不能推出无穷种情况都成立,然而人类处理的数字公式和数列越来越多的时候,那么就会自然而然出现巧合了,

  ……却有无穷个数列和无穷多个数学问题,所以各种巧合很有可能发生,但是由于

  如何发现反例的和相关原因可以参考这个问题:computer algebra

  事实上我们可以证明,Pell方程一定有无穷多组正整数解,这是初等数论一个经典结果。

  这就是为什么很多关于否定方程的正整数解的命题(如费马大定理)不能通过验证较小的整数达到证明目的(如1万亿以内),比如这个Pell方程,其在x,y小于一万亿的范围内也是没有解的,但是它有解而且有无穷多正整数解。

  ,比如Pell方程其理论与连分数算法都是经过研究得到的(Lagrange有重要贡献),而不是单纯的枚举法。

  的素数个数,我们可以用一些初等函数来估计π(x),从而较对素数分布得到一些较精确的结果

  一个直观的理解就是当N充分大时,在1到N之间任取一个数,其是素数的概率大概为

  这个猜想确实是Reasonable的,上面写的那些等价无穷大的结论都是对的。

  John Edensor Littlewood 1914年证明了这样的n一定存在

  All numerical evidence then available seemed to suggest that π(

  ). Littlewoods proof did not, however, exhibit a concrete such number

  南非数学家,Littlewood 的学生之一,Littlewood是他的研究生导师,肯定当时给了他这个题目让他做……

  Stanley Skewes于1933年证明了存在一个自然数n,n小于

  Stanley Skewes于1955年证明了存在一个自然数n,n小于

  不过这次他摆脱了黎曼猜想是正确的这个假设,可谓真正的证明了上界的存在性。

  现在,我们用Skewes number表示最小的自然数n使得

  但是可见它还是很大,所以计算机不能很好地计算出它(计算能力还是不够……)

  μ(n) = 0 if n 含质因子的次数超过2次,即含平方因子(如2^2,3^4,5^2等)

  1985年 Andrew Odlyzko 与 Herman te Riele共同推翻了这个猜想

  有些时候,我们做估计往往是对于整体做的估计,比如证明著名的Bertrand假设:

  反证这样的素数不存在,会吃掉最后一个乘积,而第一,二个乘积可以有很好的上界:

  我们在证明过程中可能利用整体的信息而丢掉了个体的信息,所以我们无法从正确的证明中获得反例,但这绝对不意味着没有反例或者证明错误。

  再举一个例子,就是Lebesgue和Riemman积分,都忽略了被积函数在单点的信息,而提取出整体的信息

  如果取出不大于n的所有不等于3的素数,按照它们除以3的余数来分成两组,

  当n不断增加的时候,两组分别的素数个数的增长就和跑步比赛一样,不断增加,不过似乎总有

  这方面的理论基础源于John Edensor Littlewood (没错,又是他)

  John Edensor Littlewood 1914发表一个对这方面问题的很好的估计的paper

  iles/pdf/upload_library/22/Ford/granville1.pdf

  Karol Borsuk(就是那个证明了博苏克-乌拉姆定理的数学家)在1932年证明了:

  任何一个二维欧氏空间中的球体(二维球即圆盘)可以被剖分成3部分,每一部分的直径

  n维欧氏空间中的每一个有界集合E,是否均可以划分成n+1个子集,每一个子集的直径均

  1993 年Gil Kalai 和 Jeff Kahn找到n= 1325时,命题不成立,对n>2014命题也不成立

  其讲述了如何运用这类方法构造恒等式对n=1,……N成立,但对nN时不成立。opebet体育竞技

  来自《Inside Interesting Integrals》 by Paul J. Nahin.

  继续,对n=1,2,3,4,…,10检验都成立,甚至n=30也是对的:

  就是说某些参数的局部改变不会改变积分值,但是某些参数值附近稍微的改变会导致积分值突变

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  另外,不要看了此贴就感觉产生了猜想一定会错的感觉,也不要产生猜想的提出缺乏逻辑思考的想法。猜想的正确与否还是要按照数学证明的基本法则来验证,不能妄下结论。

  历史上有很多对于小数成立的猜想,后面也被证明是正确的,如费马大定理这种民科爱好品。猜想的提出,有时能推动一个数学领域的发展,这方面看,猜想即使是错的,也是有一定意义的。

  所以结合这两点,猜想的大反例只是告诉我们不要依赖已知情况和直觉,但绝不是要我们放弃具体例子,直接上理论工具开始计算,很多已知情况其实是可以提供一些信息的,我们可以从中得到启发,虽然不是证明,但可以提供一些思路。

  当n足够大的时候,这个和会越来越大,最后接近无穷大(除非你相信某居士…)

  不妨验证一下n=4,5,6,7,8的情况(大于8的分母还是过于复杂不宜计算)

  已经用计算机验证了1000到100000的数是成立的,直观上来看这个级数和越长越慢,似乎越来越难变成一个整数。

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